Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события.
В разных независимых испытаниях событие может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие имеет одну и ту же вероятность.
Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события в каждом испытании также постоянна и равна .
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при испытаниях событие осуществится ровно раз и, следовательно, не осуществится раз.
Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие повторилось ровно к раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: , , , . Запись означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т.е. наступило противоположное событие ; соответственный смысл имеют и другие записи.
Искомую вероятность обозначим . Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.