3. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности Классическое определение вероятности
Вероятностью наступления события A называется число, равное отношению числа случаев, благоприятствующих событию A, к общему числу случаев (исходов, шансов или элементарных событий).
Вероятность (Р)

Где n ‒ общее число случаев, m ‒ число случаев, благоприятствующих событию А.
Вероятность невозможного события:

Вероятность достоверного события:

Вероятность любого случайного события:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Статистическое определение вероятности
Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления события в n ‒ произведенных испытаниях.
Опытная (экспериментальная) вероятность:

Следовательно,– есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событиеA появилось. При ,P(A) ≈ (A)
Пример 1.
В коробке лежит 7 синих, 8 красных и 5 зеленых шаров.
Решение:
Событие A ‒ шар зеленый;

Пример 2.
В коробке лежат 100 электроламп, из них 5 бракованных.
Решение:
Событие A ‒ на удачу, выбранные 2 электролампы исправны.

Пример 3.
В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных.
Найти:
Вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.
Решение:
Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся шаров, равно:

Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5:

Искомая вероятность P = 15/252 ≈ 0,06.
Геометрическая вероятность, то есть вероятность попадания точки в некоторую область, отрезок, часть плоскости.
Геометрической вероятностью события A называют отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области.

где mes ‒мера (длина, площадь, объём области).
4.Алгебра событий. Операции над случайными событиями.
Определение 1. Суммой двух событий A и B называется событие C, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B.

Возможны два случая:
1. Если A и B несовместны, тогда A+B означает, что произойдет или A, или В.
2. Если A и B совместны, тогда A+B означает, что произойдет или A, или B, или A и B одновременно.
Определение 2. Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B.

Пример 1. Из колоды карт наудачу вынули одну карту.
Событие A‒ карта дама.
Событие B‒ карта пиковой масти.
Тогда A + B ‒ вынутая карта или дама, или карта пиковой масти, или пиковая дама.
AB ‒ вынутая карта пиковая дама.
Правило произведения событий.
Если какой ни будь объект A можно выбрать m‒ способами и после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать k ‒ способами, то пары объектов «A и B одновременно» можно выбрать mk‒ способами.
Пример 2.
В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных билетов.
Найти вероятность того, что среди первых 5‒ти наугад выбранных билетов 2 будут выигрышными.
Решение:
50 ‒ 8 = 42 ‒ билета невыигрышных.
Событие A ‒ среди первых 5‒ти билетов 2 выигрышных.

Пример3.
В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей.
Какова вероятность, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?
Решение:
Общее число исходов равно

Число благоприятных исходов определяется произведением

где первый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4‒х стандартных деталей из 10, а второй ‒ числу вариантов изъятия из ящика 2‒х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна